数据结构进阶:ST表

性能测试必备知识(9)- 深入理解“软中断”

简介

ST 表是用于解决 可重复贡献问题 的数据结构。

什么是可重复贡献问题?

可重复贡献问题 是指对于运算 \(\operatorname{opt}\) ,满足 \(x\operatorname{opt} x=x\) ,则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。例如,最大值有 \(\max(x,x)=x\)gcd\(\operatorname{gcd}(x,x)=x\) ,所以 RMQ 和区间 GCD 就是一个可重复贡献问题。像区间和就不具有这个性质,如果求区间和的时候采用的预处理区间重叠了,则会导致重叠部分被计算两次,这是我们所不愿意看到的。另外, \(\operatorname{opt}\) 还必须满足结合律才能使用 ST 表求解。

什么是RMQ?

RMQ 是英文 Range Maximum/Minimum Query 的缩写,表示区间最大(最小)值。解决 RMQ 问题有很多种方法,如 线段树 、单调栈、ST表 和 Four Russian — 基于 ST 表的算法。

引入

ST 表模板题

题目大意:给定 \(n\) 个数,有 \(m\) 个询问,对于每个询问,你需要回答区间 \([l,r]\) 中的最大值。

考虑暴力做法。每次都对区间 \([l,r]\) 扫描一遍,求出最大值。

显然,这个算法会超时。

ST 表

ST 表基于 倍增 思想,可以做到 \(\Theta(n\log n)\) 预处理, \(\Theta(1)\) 回答每个询问。但是不支持修改操作。

基于倍增思想,我们考虑如何求出区间最大值。可以发现,如果按照一般的倍增流程,每次跳 \(2^i\) 步的话,询问时的复杂度仍旧是 \(\Theta(\log n)\) ,并没有比线段树更优,反而预处理一步还比线段树慢。

我们发现 \(\max(x,x)=x\) ,也就是说,区间最大值是一个具有“可重复贡献”性质的问题。即使用来求解的预处理区间有重叠部分,只要这些区间的并是所求的区间,最终计算出的答案就是正确的。

如果手动模拟一下,可以发现我们能使用至多两个预处理过的区间来覆盖询问区间,也就是说询问时的时间复杂度可以被降至 \(\Theta(1)\) ,在处理有大量询问的题目时十分有效。

具体实现如下:

\(f(i,j)\) 表示区间 \([i,i+2^j-1]\) 的最大值。

显然 \(f(i,0)=a_i\)

根据定义式,第二维就相当于倍增的时候“跳了 \(2^j-1\) 步”,依据倍增的思路,写出状态转移方程: \(f(i,j)=\max(f(i,j-1),f(i+2^{j-1},j-1))\)

以上就是预处理部分。而对于查询,可以简单实现如下:

对于每个询问 \([l,r]\) ,我们把它分成两部分: \(f[l,l+2^s-1]\)\(f[r-2^s+1,r]\)

其中 \(s=\left\lfloor\log_2(r-l+1)\right\rfloor\)

根据上面对于“可重复贡献问题”的论证,由于最大值是“可重复贡献问题”,重叠并不会对区间最大值产生影响。又因为这两个区间完全覆盖了 \([l,r]\) ,可以保证答案的正确性。

模板代码

ST 表模板题

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int logn = 21;
const int maxn = 2000001;
int Logn[maxn], f[maxn][logn];
int n, m;

inline int read(){
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while (!isdigit(ch)) { if (ch == '-') f = -1; ch = getchar(); }
	while (isdigit(ch)) { x = x * 10 + ch - 48; ch = getchar(); }
	return x * f;
}

void pre() {
	Logn[1] = 0, Logn[2] = 1;
	for (int i = 3; i < maxn; ++i) 
		Logn[i] = Logn[i / 2] + 1;
}
int main() {
	//freopen("in.txt", "r", stdin);
	//ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
	n = read(), m = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i)f[i][0] = read();
	pre();
	//f(i,j) = max(f(i,j - 1),f(i + 1 << (j - 1),j - 1))
	for (int j = 1; j <= logn; j++)
		for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
			f[i][j] = max(f[i][j - 1], f[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
	int x, y;
	while (m--) {
		x = read(), y = read();
		int s = Logn[y - x + 1];
		printf("%d\n", max(f[x][s], f[y - (1 << s) + 1][s]));
	}
}

注意点

  1. 输入输出数据一般很多,建议开启输入输出优化。

  2. 每次用 std::log 重新计算 log 函数值并不值得,建议进行如下的预处理:

    CAS原理

\[\left\{\begin{aligned} Logn[1] &=0, \\ Logn\left[i\right] &=Logn[\frac{i}{2}] + 1. \end{aligned}\right. \]

ST 表维护其他信息

除 RMQ 以外,还有其它的“可重复贡献问题”。例如“区间按位和”、“区间按位或”、“区间 GCD”,ST 表都能高效地解决。

需要注意的是,对于“区间 GCD”,ST 表的查询复杂度并没有比线段树更优(令值域为 \(w\) ,ST 表的查询复杂度为 \(\Theta(\log w)\) ,而线段树为 \(\Theta(\log n+\log w)\) ,且值域一般是大于 \(n\) 的),但是 ST 表的预处理复杂度也没有比线段树更劣,而编程复杂度方面 ST 表比线段树简单很多。

如果分析一下,“可重复贡献问题”一般都带有某种类似 RMQ 的成分。例如“区间按位与”就是每一位取最小值,而“区间 GCD”则是每一个质因数的指数取最小值。

总结

ST 表能较好的维护“可重复贡献”的区间信息(同时也应满足结合律),时间复杂度较低,代码量相对其他算法很小。但是,ST 表能维护的信息非常有限,不能较好地扩展,并且不支持修改操作。

练习

RMQ 模板题

SCOI2007」降雨量

平衡的阵容 Balanced Lineup

以下摘自网络,仅作为学习算法使用,侵权删。

附录:ST 表求区间 GCD 的时间复杂度分析

在算法运行的时候,可能要经过 \(\Theta(\log n)\) 次迭代。每一次迭代都可能会使用 GCD 函数进行递归,令值域为 \(w\) ,GCD 函数的时间复杂度最高是 \(\Omega(\log w)\) 的,所以总时间复杂度看似有 \(O(n\log n\log w)\)

但是,在 GCD 的过程中,每一次递归(除最后一次递归之外)都会使数列中的某个数至少减半,而数列中的数最多减半的次数为 \(\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)\) ,所以,GCD 的递归部分最多只会运行 \(O(n\log w)\) 次。再加上循环部分(以及最后一层递归)的 \(\Theta(n\log n)\) ,最终时间复杂度则是 \(O(n(\log w+\log x))\) ,由于可以构造数据使得时间复杂度为 \(\Omega(n(\log w+\log x))\) ,所以最终的时间复杂度即为 \(\Theta(n(\log w+\log x))\)

而查询部分的时间复杂度很好分析,考虑最劣情况,即每次询问都询问最劣的一对数,时间复杂度为 \(\Theta(\log w)\) 。因此,ST 表维护“区间 GCD”的时间复杂度为预处理 \(\Theta(n(\log n+\log w))\) ,单次查询 \(\Theta(\log w)\)

线段树的相应操作是预处理 \(\Theta(n\log x)\) ,查询 \(\Theta(n(\log n+\log x))\)

这并不是一个严谨的数学论证,更为严谨的附在下方:

更严谨的证明
理解本段,可能需要具备 时间复杂度 的关于“势能分析法”的知识。

先分析预处理部分的时间复杂度:

设“待考虑数列”为在预处理 ST 表的时候当前层循环的数列。例如,第零层的数列就是原数列,第一层的数列就是第零层的数列经过一次迭代之后的数列,即 st[1..n][1] ,我们将其记为 \(A\)

而势能函数就定义为“待考虑数列”中所有数的累乘的以二为底的对数。即: \(\Phi(A)=\log_2\left(\prod\limits_{i=1}^n A_i\right)\)

在一次迭代中,所花费的时间相当于迭代循环所花费的时间与 GCD 所花费的时间之和。其中,GCD 花费的时间有长有短。最短可能只有两次甚至一次递归,而最长可能有 \(O(\log w)\) 次递归。但是,GCD 过程中,除最开头一层与最末一层以外,每次递归都会使“待考虑数列”中的某个结果至少减半。即, \(\Phi(A)\) 会减少至少 \(1\) ,该层递归所用的时间可以被势能函数均摊。

同时,我们可以看到, \(\Phi(A)\) 的初值最大为 \(\log_2 (w^n)=\Theta(n\log w)\) ,而 \(\Phi(A)\) 不增。所以,ST 表预处理部分的时间复杂度为 \(O(n(\log w+\log n))\)

其它

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(文章完)

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